2021年全国2卷压轴题解析

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题目中我之所以加上导函数的图像,只是为了让同学们更加具体清晰的看到导数的正负情况,从而判断函数的单调性。当然,把图全部删去,丝毫不影响这道题的步骤。

我欢迎各位网友给我提出批评建议,但也希望大家能有一种空杯心态,不要见到与自己认为的不同,就认为对方是错误的,不严谨的。对于一些网友不负责任的言论,我直接删除,也不想讨论。就像前一阵我说“全国1卷数学高考从2011年至2021年,从来没有哪一年哪一道题考过定积分。”,某位老师反驳我“我是正规公立学校的老师,我非常清楚,数学高考中定积分每年必出一道小题。”我都懒得与之争辩——为这种事争论毫无意义且可笑至极,那位老师如果自己真的抽出一点时间翻一翻历年高考卷,就不会反驳我了。当然,她后来也没有去看,因为傲慢,她认定我说的是错误的。

近年来,高考对数形结合思想的考察越来越重视,识图作图已然成为同学们学习数学的一项基本功,并且通过作图可以帮助同学更直观的把握解题思维。这也是2016年我们在北京开会时,人民教育出版社的章建跃博士给我们的建议。

想起前些年发生的一件趣事,在某数学研究群,几位比较顶尖的985院校的学生批评我们这些高中老师居然还给学生布置数学作业,简直误人子弟。他们说自己高中时从不写数学题,自己看看书,高考数学都140+。能考上985院校的学生基本都是百里挑一,顶尖的更是千里挑一,甚至万里挑一。只是,天才毕竟是天才,普通人无法复制其智商,那就找自己的路。

由于我每一年带的高三学生大多都是1卷地区的,所以个人对全国2卷的难度向来不屑一顾,平时带领学生刷题时也都略过2卷。也曾遇到个别二卷地区的学生向我抗议,说2卷难度高于1卷,我都懒得反驳:“是是是,你说的都对!”

第(1)问讨论函数单调性,由于含参,因此需要注意是否要对参数进行分类讨论。

步骤一:确定定义域后求导,求导后建议化简整理成我们熟悉的形式,方便我们后续操作;

第(2)问的难度令我感到诧异,我一度怀疑自己下载错试卷了,不敢相信这居然是高考题。

由于函数f(x)先递减,后递增,与x轴没有交点,意味着函数图像都在x轴上方,也就是其最小值大于0,结束。

第(1)问求函数单调区间。文科卷还涉及到参数,理科卷居然连参数都没有,难度反而降低了?依然三步骤:

第(2)问,两个函数有两个交点,意味着将两者联立之后有两个根,通过整理变形,相当于等号左右两边的表达式所代表的的图像相交且有两个交点。这里,等号左边的式子代表一条曲线,等号右边的式子代表一条平行于x轴的直线。

通过求导的方法,先将一边的曲线图像描绘出来。要与右边式子代表的直线有两个交点,意味着直线需要在x轴上方,不能超过曲线的最大值点。

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